Матрицы смежности ее изменение при изменении нумерации вершин

ГрафоMann

При формулировке задачи об изоморфизме двух графов мы отметили, что эта задача сводится к отысканию такой нумерации вершин в каждом графе и связанной с ней нумерацией ребер, чтобы их матрицы инцидентности совпадали. Если такая нумерация существует, то графы изоморфны, если не существует, то нет. Под связанностью нумерации ребер с нумерацией вершин, мы полагали порядковую нумерацию лексикографического расположения ребер $\{ i,j\}$, связывающих вершины $i$ и $j$ (обозначение вершин мы отождествляем с их номерами). При построении матрицы инцидентности $B$ мы увязывали номера строк с номерами вершин, а номера столбцов с заданными нами номерами ребер.

Если мы произведем перенумерацию вершин, то порядок строк в матрице $B$ изменится. Переставив строки матрицы $B$ в соответствии с новой нумерацией вершин, не переставляя при этом столбцов, мы сохраним старый порядок связей (старую порядковую нумерацию ребер — совпадает с нумерацией столбцов)

Графы и деревья

Орграф — это граф, все ребра которого имеют направление. Такие направленные ребра называются дугами.

На рисунках дуги изображаются стрелочками (см. ). Рис. 11.6. ОрграфВ отличие от ребер, дуги соединяют две неравноправные вершины: одна из них называется началом дуги ( дуга из нее исходит ), вторая — концом дуги ( дуга в нее входит ). Можно сказать, что любое ребро — это пара дуг, направленных навстречу друг другу.Если в графе присутствуют и ребра, и дуги, то его называют смешанным.Все основные понятия, определенные для неориентированных графов ( инцидентность, смежность, достижимость, длина пути и т.п.), остаются в силе и для орграфов — нужно лишь заменить слово » ребро » словом » дуга «.

А немногие исключения связаны с различиями между ребрами и дугами.Степень вершины в орграфе — это не одно число, а пара чисел: первое характеризует количество исходящих из вершины дуг, а второе — количество

Тема 7. Модели теории графов. Определение простого графа.

Способы задания простых графов. Отношения и матрицы смежности и инцидентности.

Степень вершин простого графа и её свойства.

На этапе практического применения могут применяться уже разработанные алгоритмы с незначительными изменениями и соответствующее представление обрабатываемой информации подходящими структурами данных.

Рассмотрим более подробно сначала простые графы (но многие результаты могут быть применимы и к другим моделям). Простой граф – упорядоченная пара V,Е, гдеV– множество вершин,Е℘(V) – множество двухэлементных подмножествV– множество рёбер (семейство двухэлементных множеств).

Граф (упорядоченная пара) обозначается обычно какG(V,E): G(V,E) = V,ЕЕ℘(V) &eE |e|=2 Здесь ℘(V) – множество всех подмножествV,℘(V) = {X |XV}.

Об одном алгоритме раскраски графа и его модификациях Текст научной статьи по специальности «Математика»

А.

Так, если при некоторой нумерации вершин граф задан матрицей A, а P — матрица перестановки, задающая переход от одной нумерации вершин к другой, то «граф» — это класс матриц вида A = PAP’ (штрих означает транспонирование матрицы), где P пробегает все множество перестановочных матриц. Каждую конкретную матрицу данного класса будем называть представителем графа.

Каждый представитель графа однозначно определяет граф [1].

Одно из определений графа сводится к определению его как двух взаимосвязанных множеств: множества вершин V = {vi,.,vn} и подмножества R декартова произведения первого множества на себя, т.

Матрица смежности

графа — это квадратная матрица, в которой каждый элемент принимает одно из двух значений: 0 или 1. Прежде чем отобразить граф через матрицу смежности, рассмотрим простой пример такой матрицы (рис. 1). Это двоичная квадратная матрица, т.

к. число строк в ней равно числу столбцов, и любой из ее элементов имеет значение либо 1, либо 0. Первая строка и первый столбец (не входят в состав матрицы, а показаны здесь для легкости ее восприятия) содержат номера, на пересечении которых находится каждый из элементов, и они определяют индексное значение последних.

Имея в наличии лишь матрицу такого типа, несложно построить соответствующий ей граф. Для

Матричные методы теории графов

Разработчики: к.ф.-м.н., доц.

Формула Бине-Коши. Критерий регулярности Адамара и его обобщения. Характеристический многочлен матрицы и выражение его коэффициентов через главные миноры матрицы. Метод Фаддеева одновременного вычисления коэффициентов характеристического многочлена и присоединенной матрицы.

Теорема об алгебраических дополнениях элементов матрицы с нулевыми строчными суммами.

Тема 7. Модели теории графов.

Сопровождающая матрица для многочлена ([1, стр. 151]) Нормальная форма многочленной (в частности — характеристической) матрицы.

Определение простого графа. Способы задания простых графов. Отношения и матрицы смежности и инцидентности.

Степень вершин простого графа и её свойства.

На этапе практического применения могут применяться уже разработанные алгоритмы с незначительными изменениями и соответствующее представление обрабатываемой информации подходящими структурами данных. Рассмотрим более подробно сначала простые графы (но многие результаты могут быть применимы и к другим моделям).

Простой граф – упорядоченная пара V,Е, гдеV– множество вершин,Е℘(V) – множество двухэлементных подмножествV– множество рёбер (семейство двухэлементных множеств). Граф (упорядоченная пара) обозначается обычно какG(V,E): G(V,E) = V,ЕЕ℘(V) &eE |e|=2 Здесь ℘(V) – множество всех подмножествV,℘(V) = {X |XV}. |e|=2 означает, что каждое ребро равномощно двухэлементному множеству.

Можно также записатьe~ℬ, ℬ={0, 1}.

Множество вершин обычно обозначают буквой V– от английского термина для вершины – “vertex”. Множество ребер обычно обозначают буквойE– от английского термина для ребра – “edge”.

Матрицы смежности и перечисления путей

Напомним, что матрицей смежности А=||aij|| помеченного графа G(V,E) с n вершинами называется (nxn)- матрица, в которой аij =1 , если вершина viсмежна с вершиной vj и аij=0 в противном случае. Если граф не является связным, то путем соответствующей нумерации вершин матрицу смежности можно представить блочной матрицей диагонального вида, в которой каждый блок соответствует одной из компонент связности, например: Рис.20. Граф с тремя компонентами и его блочная матрица смежности Поскольку компоненты и в матрице смежности не имеют общих элементов, то каждую из них можно рассматривать отдельно.

С помощью матриц смежности, используя различные алгебры, можно определить наличие путей различной длины между произвольными вершинами, количество таких путей и перечисление таких путей. Если использовать булеву алгебру, то элемент anij показывает, есть ли между вершинами vi и vj путь, длиной меньше или равной n ребер.

Некоторые определения теории графов

Матрицей смежности графа

с множеством вершин

(соответствующей данной нумерации вершин) называется матрица

размера

, в которой элемент

равен числу ребер в , соединяющих

и

.